State Space Equation이란

State Space Equation

• State Space Equation : System을 나타내는 다차의 미분 방정식을 다수의 1차 미분방정식으로 바꿔 Matrix로 표현한 방정식
• 확률론적 동적 System의 State Space 변화(한 Time Step에서 다음 Time Step으로의 State의 변화)를 나타낸다
  • System의 State가 Input에 따라 어떻게 달라지는지를 나타냄
• System의 상태와 그 상태를 나타내는 수식의 집합 
  • State : 주어진 시간에서의 System의 상태를 나타내는 값 (Ex) 차량의 속도, 배터리의 온도 등)
  • State Variable : System / Model의 상태를 나타내는 Variable
  • State Space :  시간이 지나며 State Variable들이 변하는 공간. 초기 State로부터 접근 가능한 모든 State variable들을 모아놓은 것
•  Kalman Filter와 같은 Estimator 사용 시 Modeling을 위해 사용한다

• State Space Equation은 위처럼 State Equation(상태방정식)과 Output Equation(출력방정식)의 2가지 식을 갖는다
  • State Equation : 이전의 상태(Ex) 위치, 속도)와 현재 상태 간의 관계를 나타내는 방정식
  • 현재 상태를 입력 및 과거 상태들로 구성한 방정식
  • State Variable의 개수만큼 유도해야 함
  • Output Equation : 현재 상태와 측정값 사이의 관계를 나타내는 방정식
  • System의 출력을 입력과 상태변수들로 구성한 방정식이며 주로 다른 System 변수를 구하는데 사용

• A : State / System Matrix (n * n Square Matrix) 
  • 시간에 따른 상태의 변화를 야기하는 State Trasnsition Matrix (상태 천이 행렬)
  • Input이 없을 때 시간에 따른 State의 변화를 나타냄
• B : Input / Control Matrix (n * m)
  • Input에 따른 State의 변화를 나타냄
• C : Output / Transition Matrix (p * n)
  • Output(y)과 State Variable(x) 사이의 관계를 나타내는 Matrix
• D : Forward Gain / Direct Transmission Matrix (p * m)
  • Input이 Output Matrix에 미치는 영향을 나타낸 Matrix
• x : State Vector (n * 1)
• xdot : DIfferential of State Vector, System State`s change rate
• y : Output Vector (p * 1)
• u : Input Vector (m * 1)
  • n : 상태 수, m : 입력 수, p : 출력 수

 

• State Equation은 아래와 같은 과정으로 구할 수 있다
  • System Model 설정을 통한 계수 정리
  • State Variable 설정
  • State Variable을 미분한 것을 새로운 State Variable로 선언

 

Electrical Example)

http://www.senslab.co.kr/Class/%BB%F3%C5%C2%BA%AF%BC%F6%B8%F0%B5%A8.pdf

• 위 자료의 예제를 정리한 내용
• 아래의 관계식을 활용하여 위 Circuit의 Output인 Y를 구함

 

1. State Variable 설정

• Capacitor에 걸리는 전압과 Inductor에 흐르는 전류를 State Variable로 설정
• Elctrical System에서 State Space Equation을 사용할 경우, 위처럼 Capacitor 양단의 전압과 Inductor를 통과하는 전류를 상태 변수로 사용
  • System의 에너지를 결정(저장)하는 값들

• 각 상태변수에 대한 계산식

• 회로에 저장된 Energy는 위와 같다
  • 회로의 L, C 소자에 저장된 Energy

 

• 이에 따라 State Space Equation과 Measuremnt Equation을 작성하면 아래와 같다

• State Variable의 시간에 따른 변화식 및 Input과의 관계식 계산을 통한 State Space Equation 구성
• State Variable과 Output의 관계식 계싼을 통한  Measurement Equation 구성 

 

 

 

• Ex ) 아래와 같은 System의 State Space Equation 구하기

 

• System Model (위의 경우 운동 방정식) 설립

 

 

• 고계도함수의 계수가 1이 되도록 정리

 

 

• State Variable 설정 : x1 = y
• x1을 output에 해당하는 y로 정의

 

• x1의 미분을 두번째 State Variable로 정의

 

• 운동방정식에 y대신 x1을 대입

 

• x1'' 대신 x2', x1' 대신 x2 대입 (우변에 미분항이 없게 하기 위함)

 

• 이를 통해 얻은 두번째 State Equation과 그를 Matrix 형태로 변형

  

 

• State Variable x1을 선언할 때의 정의에 따라 Output Equation 정리

 

 

 

 

• Ex 2) System의 Model이 아래와 같다면

 

• 아래와 같이 Matrix로 State Variable을 표현할 수 있다
  • x'', x', x 모두 System의 State를 나타내지만 System의 State를 나타내는데 이 3개의 Variable이 모두 필요하지는 않다
  • 하나의 구속 조건인 방정식이 존재하므로 2개의 Variable의 값만 정해져도 System의 State를 알 수 있다

State Variable

 

• 그리고 위의 미분 방정식을 아래와 같은 Matrix의 형태로 나타낼 수 있다

 

• 이 때 제어하고자 하는 변수가 x라 한다면

 

• Model의 미분 방정식과 관심 변수의 Matrix 식을 나열하면 아래와 같다

• 이를 State Space Equation이라 한다
• 그리고 다음과 같이 각 행렬식에 Laplace Transform을 적용하면 Transfer Function을 구할 수 있다

State Space Equction에서 Transfer Function을 도출하는 과정

 

 

• 위는 입력이 하나인 단순한 경우이나 다수의 입력이 들어오는 경우 위와 같은 Matrix로 System을 표현하는 것이 계산에 용이하다

 

 

 

 

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참고 자료 :

https://dongmin-archive.tistory.com/entry/3-State-Space-Representation-and-Transfer-Function-%EC%83%81%ED%83%9C%EA%B3%B5%EA%B0%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D-%EB%B0%8F-%EC%A0%84%EB%8B%AC%ED%95%A8%EC%88%98#Transfer%20Function-1

[자동 제어] 4. 상태공간표현법 및 전달함수

 

https://subprofessor.tistory.com/128

[동역학] 상태공간 모델(State-space model), 전달함수(Transfer Function)

 

https://lpsa.swarthmore.edu/Representations/SS/SS2SSDetails.html

Details of Case 2: State Space to State Space

 

http://www.senslab.co.kr/Class/%BB%F3%C5%C2%BA%AF%BC%F6%B8%F0%B5%A8.pdf